Andengradsligninger

Matematik

Dette er en artikel der er relateret til faget matematik.

Formler og forklaringer til løsning af andengradsligninger.

Model: y=a*x²+b*x+c

Indholdsfortegnelse

1 Fakta ud fra model
2 Formler
3 Faktoropløsning (nulpunkter)
4 Bevis for nulpunkter
5 Se evt.

Fakta ud fra model

Ud fra a

a > 0 : grene vender opad
a < 0 : grene vender nedad.
a = 0 : kun en ret linie

Ud fra c

c angiver hvor den skærer y-aksen

Ud fra a og b

Har a og b samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen.
Har a og b forskellig fortegn ligger toppunktet til højre.
b = 0 ligger toppunktet på y-aksen.

Formler

Nulpunkter

d = b²-4ac
$LaTex: x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$

Toppunkt

$LaTex: x = \frac{-b}{2\times a}$
$LaTex: y = \frac{-d}{4\times a}$

Faktoropløsning (nulpunkter)

$LaTex: $\begin{array}{l} f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - r_1 )(x - r_2 ) \\ f(x) = a(x^2 - r_1 \times x - r_2 \times x + r_1 \times r_2 ) \\ f(x) = a(x^2 - (r_1 + r_2 )x + (r_1 \times r_2 )) \\ r_1 = \frac{{ - b + \sqrt d }}{{2a}}\& r_2 = \frac{{ - b - \sqrt d }}{{2a}} \\ r_1 + r_2 = \frac{{ - b + \sqrt d - b - \sqrt d }}{{2a}} = \frac{{ - 2b}}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a} \\ r_1 \times r_2 = \frac{{ - b + \sqrt d }}{{2a}} \times \frac{{ - b - \sqrt d }}{{2a}} = \frac{{b^2 - d}}{{4a^2 }} \\ r_1 \times r_2 = \frac{{b^2 - d}}{{4a^2 }} = \frac{{b^2 - (b^2 - 4ac)}}{{4a^2 }} = \frac{{4ac}}{{4a^2 }} = \frac{c}{a} \\ a(x - r_1 )(x - r_2 ) = a\left( {x^2 - \frac{{ - b}}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = ax^2 + bx + c \\ \end{array}$$