Grænseværdi

Grænse værdien er den maksimale værdi som man nærmer sig, ved en given funktion når man nærmer sig et given punkt.

$LaTex: \omega(a)$ omegnen til a, dvs. a og uendeligt tæt på a.

$LaTex: \omega'(x)$ udprikket omegnen til x, dvs. uendeligt tæt på x, men aldrig helt x.

Funktionen har en grænseværdi for a i X0, hvis det til enhver megn om a (w(a)), findes et udprikket omegn om X0 (w'(x)), så der for alle $LaTex: x \in \omega'(X0)$ gælder $LaTex: f(x)\in \omega(a)$

Notation

Eksempel

$LaTex: f(x) = 2\cdot x\\ \fbox{\lim_{x \to 4}f(x) = 8}$

Når x bevæger sig mod 4 er grænseværdien 8, fordi vi på y-aksen bevæger os mod 8.

LaTeX

\lim_{x \to 4}f(x) = 8

Eks

$LaTex: \lim_{x \to 4}f(x) = 8$

Denne notation benytter lim/limes (latin).

Regning med grænseværdier

Man kan regne på grænseværdierne for funktioner der bliver lagt sammen.

Hvis: $LaTex: \lim_{x\to x_0}f(x)=a\\ \lim_{x\to x_0}g(x)=b$

Så: $LaTex: \lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=a+b\\ \lim_{x\to x_0}(f-g)(x)=a-b\\ \lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x)=a\cdot b\\ \lim_{x\to x_0}(\frac{f}{g})(x)=\frac{a}{b}\\$