Grænseværdi

Grænse værdien er den maksimale værdi som man nærmer sig, ved en given funktion når man nærmer sig et given punkt.

LaTex: \omega(a) omegnen til a, dvs. a og uendeligt tæt på a.

LaTex: \omega'(x) udprikket omegnen til x, dvs. uendeligt tæt på x, men aldrig helt x.

Billede:Omegn.png

Funktionen har en grænseværdi for a i X0, hvis det til enhver megn om a (w(a)), findes et udprikket omegn om X0 (w'(x)), så der for alle LaTex: x \in \omega'(X0) gælder LaTex: f(x)\in \omega(a)

Notation

Eksempel

LaTex: f(x) = 2\cdot x\\ \fbox{\lim_{x \to 4}f(x) = 8}

Når x bevæger sig mod 4 er grænseværdien 8, fordi vi på y-aksen bevæger os mod 8.


LaTeX
\lim_{x \to 4}f(x) = 8
Eks

LaTex: \lim_{x \to 4}f(x) = 8

Denne notation benytter lim/limes (latin).

Regning med grænseværdier

Man kan regne på grænseværdierne for funktioner der bliver lagt sammen.

Hvis
LaTex: \lim_{x\to x_0}f(x)=a\\ \lim_{x\to x_0}g(x)=b
LaTex: \lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=a+b\\ \lim_{x\to x_0}(f-g)(x)=a-b\\ \lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x)=a\cdot b\\ \lim_{x\to x_0}(\frac{f}{g})(x)=\frac{a}{b}\\
Desuden
  • k = reelt tal.
LaTex: \lim_{x\to x_0}k\cdot f(x)=k\cdot a