Matematik Opgaver Vektor opgaver Uge 40

Indholdsfortegnelse

1 Ligninger med 2 ubekendte
2 Areal med determinant
3 Blandet
- 3.1 Opg 1734
- 3.2 Opg 1735
4 Vinkler mellem rette linier
- 4.1 A
- 4.2 B

Ligninger med 2 ubekendte

Opg 1743

Opg 1: $LaTex: -x+2y=-8 \\ 3x+y=3 \\ x=\frac{-2 \cdot 3+1 \cdot -8}{-1 \cdot 1-3 \cdot 2}=2 \\ y=\frac{-1 \cdot 3-3 \cdot -8}{-1 \cdot 1-3 \cdot 2}=-3$
Opg 2: $LaTex: 4x+y=5 \\ 6x+4y=15 \\ x=\frac{-1 \cdot 15+4 \cdot 5}{4 \cdot 4-6 \cdot 1}=0.5 \\ y=\frac{4 \cdot 15-6 \cdot 5}{4 \cdot 4-6 \cdot 1}=3$
Opg 3: $LaTex: -x+5y=7 \\ 2x+4y=0 \\ x=\frac{-5 \cdot 0+4 \cdot 7}{-1 \cdot 4-2 \cdot 5}=-2 \\ y=\frac{-1 \cdot 0-2 \cdot 7}{-1 \cdot 4-2 \cdot 5}=1$
Opg 4: $LaTex: -x+2y=5 \\ -4y+2x=3 \\ x=\frac{2 \cdot 5-2 \cdot 3}{-1 \cdot 2+4 \cdot 2}=1.25 \\ y=\frac{-1 \cdot 3-1 \cdot 5}{-1 \cdot 2+4 \cdot 2}=-1.33$

Opg 1744

Opg 1745

Opg 1: $LaTex: \det(\vec{a},\vec{b})=5=-\det(\vec{b},\vec{a})\\\det(\vec{b},\vec{a}) = -5$
Opg 2: $LaTex: \det( 2 \vec a, \vec b )=2a_{x} \cdot b_{y} -2a_{y} \cdot b_{x} =2( a_{x} \cdot b_{y} -a_{y} \cdot b_{x} )=2\cdot\det( \vec a, \vec b)=10$
Opg 3: $LaTex: \det( -3 \vec a,-3 \vec b )=-3a_{x} \cdot -3b_{y} --3a_{y} \cdot -3b_{x} =9a_{x} \cdot b_{y} -9a_{y} \cdot b_{x} =9\cdot ( a_{x} \cdot b_{y} -a_{y} \cdot b_{x} )=9 \cdot 5=45$

Areal med determinant

Opg 1723

Opg 1724

Forhold mellem vektorer: $LaTex: \vec a \cdot \hat b= \vec a \cdot \vec b=a_{x} \cdot b_{x} +a_{y} \cdot b_{y} =a_{x} \cdot -b_{y} +a_{y} \cdot b_{x} \\ 3 \cdot b_{x} +7 \cdot b_{y} =3 \cdot -b_{y} +7 \cdot b_{x} \\ b_{y} =0,4 \cdot b_{x}$

Udregning af vektorer: $LaTex: |\vec{b}| = \sqrt{29}\\ b_x^2 + b_y^2 = 29\\ b_x^2 + (0,4\cdot b_x)^2 = 29\\ b_x^2 + 0,16\cdot b_x^2 = 29\\ 1,16\cdot b_x^2 = 29\\ b_x = \frac{\sqrt{29}}{1,16} = 4,64\\ b_y = 0,4\cdot 4,64 = 1,86\\$

Areal: $LaTex: |\det(\vec{a},\vec{b})| = 26,9$

Opg 1726

$LaTex: 20=7 \cdot k-( -1 ) \cdot ( k-4) \\ 20=8k-4 \\ k=\frac{20+4}{8}=3$

Blandet

Opg 1734

Projektion af AB på BC: $LaTex: a=( 4,5) \\ b=( 2,-1) \\ c=( -4,3) \\ \vec{ab}=\begin{bmatrix} -2 \\ -6 \end{bmatrix} \\ \vec{bc}=\begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} \\ \vec p=\frac{ \vec{ab} \cdot \vec{bc}}{| \vec{bc} |^{2} } \cdot \vec{bc}=\begin{bmatrix} 1.385 \\ -0.923 \end{bmatrix} \\$
Fodpunktet af højden fra A på BC: $LaTex: A_{fod} =( 2-1.385,-1+0.923)=( 0.615,-0.077)$
Højden til A: $LaTex: A_{h} = \sqrt{(4-0.615)^2+(5+0.077)^2} = 6,102$
Areal af trekant: $LaTex: g=|\vec{bc}|=\sqrt{-6^{2} +4^{2} }=7.21 \\ A_{trekant} =\frac{g \cdot A_{h} }{2}=21,998$
areal via determinantmetoden: $LaTex: A_{trekant} = \frac{|\det(-\vec{ab},\vec{bc})|}{2}=22$
Vinkler: $LaTex: \vec{ba} = -\vec{ab} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix}\\ \vec{ac} = \begin{bmatrix} -8 \\ -2 \end{bmatrix}\\ \angle a = cos^{-1}\left(\frac{\vec{ac}\cdot\vec{ab}}{|\vec{ac}|\cdot|\vec{ab}|} \right) = 57,53^{\circ}\\ \angle b = cos^{-1}\left(\frac{\vec{bc}\cdot\vec{ba}}{|\vec{bc}|\cdot|\vec{ba}|} \right) = 105,25^{\circ}\\ \angle c = 180 - (\angle b +\angle c) = 17,21^{\circ}$

Opg 1735

Vinkler mellem rette linier

A

$LaTex: n:3x - y = 2 \\ m: - x + 4y = 0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{l} 3 \\ - 1 \\ \end{array} \right) \\ \vec{m} = \left( \begin{array}{l} - 1 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \cos ^{ - 1} \left( x \right) = \frac{{\vec{n} \cdot \vec{m}}}{{\left| {\vec{n}} \right| \cdot \left| {\vec{m}} \right|}} \\ x = 47.842^ \circ \\ {\rm{For at f{\aa} den stumpe vinkel}}{\rm{, bliver vi s{\aa} n{\o}dt til at sige }}180 - x \\ \underline{\underline {180 - x = 132.158^ \circ }} \\$

B

$LaTex: n:y = - 1 \\ m:2x + 3y = 4 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{l} 0 \\ - 1 \\ \end{array} \right) \\ \vec{m} = \left( \begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \cos ^{ - 1} \left( x \right) = \frac{{\vec{n} \cdot \vec{m}}}{{\left| {\vec{n}} \right| \cdot \left| {\vec{m}} \right|}} \\ {\rm{Men fordi at }}\vec{{{\rm{n}}_{\rm{0}}}} = 0{\rm{ s{\aa} vi kan ikke dividere med den}}{\rm{.}} \\$