Matematik aflevering: Skrå kast

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Indholdsfortegnelse

1 Opgave 1
2 Opgave 2
- 2.1 Delopgave A
- 2.2 Delopgave B

Opgave 1

Delopgave A

Formel for y, uden brug af t.

$LaTex: x=v_{0} \cdot cos( \alpha ) \cdot t \\ t=\frac{x}{v_{0} \cdot cos( \alpha )} \\ y=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} +v_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot t \\ y=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left( \frac{x}{v_{0} \cdot cos( \alpha )} \right)^{2} +v_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot \frac{x}{v_{0} \cdot cos( \alpha )} \\ y=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{x^{2} }{v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} }+\frac{v_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot x}{v_{0} \cdot cos( \alpha )} \\ y=-\frac{g \cdot x^{2} }{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} }+tan( \alpha ) \cdot x \\$

Delopgave B

Formel for maksimal x værdi.

$LaTex: y=0=-\frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot x^{2} +tan( \alpha ) \cdot x \\ 0=-\frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot x^{2} +\frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} \cdot x \\ \frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot x^{2} =\frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} \cdot x \\ \frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot x=\frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} \\ \frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )} \cdot x=sin( \alpha ) \\ g \cdot x=sin( \alpha ) \cdot 2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha ) \\ x=\frac{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha ) \cdot sin( \alpha )}{g}=\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( 2 \alpha )}{g} \\$

Delopgave C

Formel for maksimal y værdi.

$LaTex: x_{top} =\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot cos( \alpha )}{g} \\ y_{top} =-\frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot \left( \frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot cos( \alpha )}{g} \right)^{2} +\frac{sin( \alpha )}{cos( \alpha )} \cdot \frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot cos( \alpha )}{g} \\ y_{top} =-\frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot \left( \frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha ) \cdot cos( \alpha )}{g} \right)^{2} +\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{g} \\ y_{top} =-\frac{g}{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} } \cdot \frac{v^{4}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} \cdot cos( \alpha )^{2} }{g^{2} }+\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{g} \\ y_{top} =-\frac{g \cdot v^{4}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} \cdot cos( \alpha )^{2} }{2v^{2}_{0} \cdot cos( \alpha )^{2} \cdot g^{2} }+\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{g} \\ y_{top} =-\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{2g}+\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{g} \\ y_{top} =\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{g}-\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{2g}=\frac{v^{2}_{0} \cdot sin( \alpha )^{2} }{2g} \\$

Opgave 2

Delopgave A

Hvor på bygningens facade vil vandet ramme.

Først beregner vi tiden hen til bygningen:

$LaTex: x=v_0\cdot cos(\alpha) \cdot t\\ t=\frac{x}{v_0\cdot cos(\alpha)}\\ t=\frac{9}{14\cdot cos(60)} = 1,2857\\$

Derefter kan vi benytte følgende formel til at beregne y-værdien:

$LaTex: y=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 + v_0\cdot sin(\alpha)\cdot t\\ y=\frac{1}{2}\cdot 9,82\cdot 1,2857^2 + 14\cdot sin(60)\cdot 1,2857 = 7,49\\$

Til sidst skal vi lægge starthøjden til y værdien:

$LaTex: \fbox{y=7,49+1,5=8,9937 m}$

Delopgave B

$LaTex: y_{maks} = \frac{v_0^2 \cdot sin(\alpha )^2}{2 \cdot g} + 1,5 \\ y = -\frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2+v_0 \cdot sin(\alpha ) \cdot t \\ x=v_0 \cdot cos(\alpha )\cdot t$