Logaritme

Matematik

Dette er en artikel der er relateret til faget matematik.

Log(x) er lig med den potens som 10 skal opløftes til for at få x, når vi taler om log() er der tale om logaritmen med grundtallet 10 (ln() er den naturlige logaritme med grundtallet tallet e).

Indholdsfortegnelse

1 Defination
2 Graf
3 Bruges til
4 Bevis for relationer
5 Log() med andre tal end 10
6 Se evt.

Defination

Grundformel: $LaTex: x=10^{\log(x)}$

Eksempler

log(10) = log(10¹) = 1
log(100) = log(10²) = 2
log(1000) = log(10³) = 3

Graf

Viser grafen for y=log(x)

Læg mærke til at funktionen er indijektiv, og man kan omtale den som værende det modsatte (f()^-1) af Vækst og Eksponentielle Funktioner

Bruges til

Man kan bruge log() til at finde potenser i en ligning.

Relationer
$LaTex: \log(x^y)=log(x)\times y$
$LaTex: \log(x \times y)=\log(x)+\log(y)$
$LaTex: \log \left( \frac{x}{y} \right) =\log(x)-\log(y)$
$LaTex: \log(\sqrt[y]{x})=\frac{\log(x)}{y}$

Eks: $LaTex: 45=2^x$

$LaTex: \log(45)=log(2^x)=\log(2)\times x$

$LaTex: x=\frac{\log(45)}{\log(2)} \approx 5,49$

(Bruges bla. i omskrivningen af Vækst formlerne).

Bevis for relationer

Bevis for de relationer der findes til logaritme.

A opløftet X

$LaTex: a^x=a^x$
$LaTex: 10^{\log(a^x)}=\left(10^{\log(a)}\right)^x$
$LaTex: 10^{\log(a^x)}=10^{\log(a)\times x}$ fordi (x^y)^z = x^(y*z) (Se: Rødder)
$LaTex: \log(a^x)=\log(a)\times x$

A gange B

$LaTex: a\times b = a\times b$
$LaTex: 10^{\log(a\times b)}=10^{\log(a)}\times 10^{\log(b)}$
$LaTex: 10^{\log(a\times b)}=10^{(\log(a)+\log(b))}$
$LaTex: \log(a\times b)=\log(a)+\log(b)$

A divider B

$LaTex: \frac{a}{b}=\frac{a}{b}$
$LaTex: 10^{\log\left(\frac{a}{b}\right)}=\frac{10^{\log(a)}}{10^{\log(b)}}$
$LaTex: 10^{\log\left(\frac{a}{b}\right)}=10^{(\log(a)-\log(b))}$
$LaTex: \log\left(\frac{a}{b} \right)=\log(a)-\log(b)$

b rod af a

$LaTex: \sqrt[b]{a}=\sqrt[b]{a}$
$LaTex: \log(\sqrt[b]{a})=\log\left(a^{\frac{1}{b}}\right)$
$LaTex: \log(\sqrt[b]{a})=\log(a)\times\frac{1}{b}$
$LaTex: \log(\sqrt[b]{a})=\frac{\log(a)}{b}$

Log() med andre tal end 10

Som standart bruger man ofte log10(), når man taler om log(), hvilket betyder at x=10^log10(x). Men der kunne også stå e istedet for 10, hvis der var tale om den naturlige logaritme.